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虚数√-1的诞生-上(The Origin of Imagi

一般人都知道虚数 $$\sqrt{-1}$$ 是方程式 $$x^2+1=0$$ 的根,在合理的推论之下,虚数 $$\sqrt{-1}$$ 应该是诞生在二次方程的解法之中才是。如果你也这样以为,那幺,数学史家的研究结果,绝对出乎你的意料之外!

在数学发展过程中,早期数学家面对方程式 $$x^2+1=0$$ 时,和我们现在的国中数学课本处理方式一样,他们认为这样的方程式是无解,当然,也就无须发明一个数,来表示方程式 $$x^2+1=0$$ 的根。不过,当我们回顾虚数 $$\sqrt{-1}$$ 诞生的故事时,便会认同数学史家的观点,也就是说:虚数 $$\sqrt{-1}$$ 并非诞生在二次方程式的解法之中,而是在解三次方程时现身。

有关虚数 $$\sqrt{-1}$$ 诞生的故事,我们可以从十六世纪义大利学者卡丹诺 (G. Cardano, 1501-1576) 谈起。卡丹诺是数学史上有名的怪人,不但博学多才,通晓医学、数学与天文学,且喜好赌博与占星术。他对当时的所有知识相当投入,着述丰富且涉及许多方面。在1545年时,卡丹诺发表了他的杰作《大术》(Ars Magna,英译The Great Art,原意为「伟大的技艺」),其中以介绍一般三、四次方程的求根公式最为着名。

在本书中,卡丹诺首先以具体方程为例,说明了(不完全)三次方程 $$x^3+mx=n$$($$m$$、$$n$$ 为正数)的解法:「将 $$x$$ 项係数的三分之一自乘三次,再加上方程式常数项係数 $$n$$ 一半的平方,将两者之和开平方。将此过程重複一次,其中一根加上常数项係数 $$n$$ 的一半,另一根则减去常数项係数 $$n$$ 的一半……然后,前者的立方根减去后者的立方根,剩下的即为 $$x$$ 的值。」

换言之,所谓卡丹诺公式解即是

$$\displaystyle x=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{-n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}$$

例如,卡丹诺求解三次方程 $$x^3+6x=20$$ 时,根据他的公式,即可得到

$$\begin{array}{ll}x&\displaystyle =\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{-n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}\\&=\displaystyle \sqrt[3]{10+\sqrt{108}}-\sqrt[3]{-10+\sqrt{108}}\end{array}$$

卡丹诺的论证纯粹为几何图解(geometric demonstration),涉及单纯的立方体与其体积。

用现代的代数方法说明,

亦即设 $$t-u=x$$,则原方程式 $$x^3+mx=n$$ 变成 $$(t-u)^3+m(t-u)=n$$,

利用立方和公式展开 $$t^3-u^3-3tu(t-u)+m(t-u)=n$$,

化简后得 $$t^3-u^3+(t-u)(m-3t)=n$$。

观察后,令 $$3tu=m$$ 与 $$t^3-u^3=n$$,

从前式可得 $$u=m/3t$$,带入后式得到 $$t^3-\frac{m^3}{27t^3}=n$$,

两边再乘以 $$t^3$$ ,且重新整理后,可得方程式 $$t^6-nt^3-\frac{m^3}{27}=0$$。

若将此方程式视为 $$t^3$$ 的二次方程式:$$(t^3)^2-n(t^3)-\frac{m^3}{27}=0$$,

利用早已为当时数学家所熟知的二次方程式公式解得出:

$$\begin{array}{ll}t^3\displaystyle =\frac{n\pm\sqrt{n^2+\frac{4m^3}{27}}}{2}&\displaystyle=\frac{n}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{n^2+\frac{4m^3}{27}}\\&\displaystyle=\frac{n}{2}\pm\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}\end{array}$$

接着,将 $$t$$ 开立方,可得:$$\displaystyle t=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}$$

我们从 $$u^3=t^3-n$$,便知

$$\displaystyle u^3=-\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}$$ 或 $$\displaystyle u=\sqrt[3]{-\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}$$

最后,我们得出三次方程式 $$x^3+mx=n$$ 的卡丹诺公式解:

$$\displaystyle x=t-u=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{-n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}$$

值得特别注意的是,十六世纪的数学家要求方程式中的係数必须为正数,因此,卡丹诺在书中分别针对 $$x^3=mx+n$$$$x^3+n=mx$$ 等等(不完全)三次方程,提出了以现代眼光来看,似乎是多此一举的公式解。在《大术》的最后,卡丹诺做出了结论,他认为三次方程已获得解答。

事实果真是如此吗?答案显然是否定的,因为他所处理的是不完全的三次方程,并非针对一般的三次方程式。儘管如此,对于三次方程的解决,卡丹诺公式仍令人感到相当振奋。不过,却也因为卡丹诺公式的出现,引出了数学史上的一个重要难题。

不过,紧接着出现的难题,却成为虚数 $$\sqrt{-1}$$ 诞生的契机!当我们考虑三次方程 $$x^3=15x+4$$ 的求解时,就出现了令当时数学家难以解释的结果,因为根据卡丹诺的公式解,可得:

$$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$

就当时数学家的观点,出现负数的平方根绝对是不合理的,所以,数学家通常容易忽略它,而认为这个三次方程不可解。然而,我们却可以轻易的检验出 $$x=4$$ 的确是这个三次方程的一个解,但是,为何在利用卡丹诺公式所求得的结果中,却没有看到 $$x=4$$ 出现?究竟所得到的解$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 和 $$4$$ 有没有关係呢?

事实上,卡丹诺早已遇到虚数根的问题。他在《大术》第三十七章中,提出并解决这样的问题:「把 $$10$$ 分为两部分,其中一部份乘以另一部份结果为 $$40$$……因此,将分成的两部分应是 $$5+\sqrt{-15}$$ 和 $$5-\sqrt{-15}$$。」

并且进一步分析说:「让我们解除思想的束缚,用 $$5+\sqrt{-15}$$ 乘 $$5-\sqrt{-15}$$,我们便得到 $$25-(-15)$$,也就是 $$25+15$$。因此乘积为 $$40$$。」

然后,他又写道:「算术就是这样的精巧奇妙,它最根本的特点,正如我所说过的,是既精妙又无用。」虽然卡丹诺已经遇到虚数根,但却未能解决三次方程所谓「不可约」(即判别式为负)的情形。有关此一困惑,数十年后另一个义大利数学家邦贝力 (R. Bombelli, 1526-1573) 提出了他的解决之道。

邦贝力认真看待虚数,运用它解出不可约三次方程,并建立了虚数的运算法则,这是人类对于数目(number)认识的一大进步,儘管他仍认为虚数是人为而非真实的数。针对三次方程 $$x^3=15x+4$$ 的两个解:$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 和 $$4$$ 的关係,他暂时抛开当时数学家对虚数 $$\sqrt{-1}$$ 的成见,提出了不受侷限的奇妙想法。

由于 $$2+\sqrt{-121}$$ 和 $$2-\sqrt{-121}$$ 只是运算符号上的差异,所以,他大胆地令:

$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=a+\sqrt{-b}$$ 和 $$\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=a-\sqrt{-b}$$,

再将 $$a+\sqrt{-b}$$ 开立方的结果与 $$2+\sqrt{-121}$$ 对照,可得 $$a=2$$,$$b=1$$,

然后,检验出下列事实之成立:

$$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=(2+\sqrt{-1})+(2-\sqrt{-1})=4$$

如此,邦贝力不但赋予了虚数 $$\sqrt{-1}$$ 的意义,并且他还发展出虚数 $$\sqrt{-1}$$ 的运算法则,奠定了虚数理论的基石。运用现在的符号 $$i=\sqrt{-1}$$(欧拉在1748年提出)表示,这些法则有:$$(\pm{1})i=\pm{i}$$,$$(\pm{1})(-i)=\mp{i}$$,$$(\pm{i})(+i)=\mp1$$,$$(\pm{i})(-i)=\pm1$$,也有虚数的加法与乘法运算,例如:$$8i+(-5i)=+3i$$ 和 $$(\sqrt[3]{4+\sqrt{2}i})(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}i})=\sqrt[3]{8+11\sqrt{2i}}$$。

邦贝力深刻洞悉了虚数 $$\sqrt{-1}$$ 在代数中所扮演的角色,不愧为十六世纪义大利的伟大数学家之一。

当然,要让数学家就此接受虚数是不容易的。正如吉拉德虽然认为要接受虚数,但却将它视为「形式」上的根;笛卡儿一样也难以接受虚数,认为是它并不是数。那幺是何种理由,奠定了虚数在数学王国里的地位呢?

在经过欧拉、高斯和柯西等人的努力,除了虚数可以满足数学家天生对完美的渴望外(例如:满足代数基本定理),更重要的是它相当「有用」。正如吉拉德 (A. Girard, 1595-1632) 所说:「有人可以说这些不可能的解有什幺用?我回答:它有三方面的用处-一是因为它能肯定一般法则;二是它们有用;再有,还因为除此之外再没有别的解。」

总之,它的诞生与发展,倒真地呼应了克莱恩 (F. Klein) 所言:「虚数……其强自佔入算术计算也,不特未尝获得世人之承诺,抑且与算学家之始愿相违,但终以日积月累之功,在其表现效能範围之内,流行日广。」这种显然不是基于逻辑演绎而是源自有用的现象,常见于数学史发展过程,虚数从诞生到被接受为合法的数目 (legitimate number),就是最好的一个见证。

连结:虚数√-1的诞生-下

参考资料:


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