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虚数√-1的诞生-下(The Origin of Imagi

连结:虚数√-1的诞生-上

在〈虚数 $$\sqrt{-1}$$ 的起源〉(上) 一文中,我们看到卡丹诺利用立方体来论证三次方程解法的正确性。在这样的看法下,方程式的「根」代表着边长。因此,需要开一个负数的平方根,代表着这个问题是无解,没有实际意义的。

卡丹诺在处理二次方程时,便是这样的想法。当他考虑将 $$10$$ 分成两个数,且两数乘积为 $$40$$ 的问题,即 $$x(10-x)=40\Rightarrow x^2+40=10x$$,就清楚地提到:「这种情形或问题是不可能的。」不过,他仍可用二次公式得到两个解 $$5+\sqrt{-15}$$ 和 $$5-\sqrt{-15}$$。

同时,他也指出:我们若「能放下心中的折磨」,直接计算两数的乘积,便能得到 $$25-(-15)=40$$,符合原来题设。他无法说出这件事的意义何在,只好利用「算术就是这幺精巧又不中用。」的说法来交待。因此,卡丹诺对于出现 $$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 的现象,也是採取迴避的策略吧。

直到邦贝利在《代数学》(Algebra, 约成于1556-1560左右) 才正式对这种特别的方根提出讨论:给它名称,并规定它的运算规则。他将加一个负数平方根叫做「负的加」,因此,$$2+\sqrt{-121}$$ 称作「$$2$$ 负的加根号 $$121$$」。类似的规则,$$2-\sqrt{-121}$$ 就称作「$$2$$ 负的减根号 $$121$$」。

附带一提,现在我们所称的「虚数」是笛卡儿 (René Descartes,1596-1650)提出的;而记号 $$i$$ 则是欧拉 (Léonard Euler, 1707-1783) 最先使用。至于它的运算法则规定如下,后面则用现在的符号加以表示:

正         乘以 负的加 得 负的加       $$(+1)(i)=i$$
负         乘以 负的加 得 负的减       $$(-1)(i)=-i$$
正         乘以 负的减 得 负的减       $$(+1)(-i)=-i$$
负         乘以 负的减 得 负的加       $$(-1)(-i)=i$$
负的加 乘以 负的加 得 负               $$(+i)(+i)=-1$$
负的加 乘以 负的减 得 正               $$(+i)(-i)=+1$$
负的减 乘以 负的减 得 负               $$(-i)(-i)=-1$$

事实上,邦贝利也是认为这类方根是「人造的,而不是真实的」。因为,他找不到关于它们的几何论证。

不过,他仍从已知的运算法则去类推和发现这些形式规则,让他可以化简上述 $$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 的複杂算式。

首先,他假设$$2+\sqrt{-121}=(a+\sqrt{-b})^3$$,则 $$2-\sqrt{-121}=(a-\sqrt{-b})^3$$。

那幺,两式相乘可得 $$(2+\sqrt{-121})(2-\sqrt{-121})=(a+\sqrt{-b)}^3(a-\sqrt{-b)}^3$$。

因此,整理可得 $$4-(-121)=[(a)^2-(-b)]^3$$。

也就是,$$125=(a^3+b)^3$$,故 $$a^2+b=5$$。

又 $$\begin{array}{ll}2+\sqrt{-121}&=(a+\sqrt{-b})^3\\&=a^3+3a^2\cdot\sqrt{-b}+3a\cdot(-b)+(-b)\cdot\sqrt{-b}\\&=(a^3-3ab)+(3a^2-b)\sqrt{-b}\end{array}$$,

可得 $$a^3-3ab=2$$。

所以,只要解出 $$a^2+b=5$$ 与 $$a^3-3ab=2$$ 即可。

事实上,邦贝利只须找到一个整数 $$a$$,使得 $$a<5$$ 且 $$a^3>2$$。

因此,$$a=2$$ 是唯一的可能答案。连带地,就能得知 $$b=1$$ 。

换句话说,$$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=(2+\sqrt{-1})+(2-\sqrt{-1})=4$$,这个问题得到最后的解决。

邦贝利最大的贡献,是让数学家了解到在求实数解的某些场合中,负数的平方根是必要的。换句话说,出现负数平方根的式子并不总是代表着问题无解。这使得数学家被迫得要去「面对」複数 (这个名词是高斯提的)。

然而,数学家也并非张开双臂欢迎它。即便到了十八世纪,数学家们知道複数在方程式论上有作用,也知道複数在三角函数和指数函数之间有深刻的关係。但欧拉在《代数指南》(Elements of Algebra) 中仍然认为:「既然吾人可能设想之数,若非大于零或小于零,即为零本身,那幺明显地,吾人无法将负数之平方根同列于可能之数中,是以吾人必须认定此为一不可能之量。……是以它们被称为虚量,因其仅存于想像之中。」

事实上,複数的身份被「扶正」,已经是十九世纪的事情。在高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)、柯西 (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857) 及汉密尔顿 (William Rowan Hamilton, 1805-1865) 等人的努力下,複数才得以奠定稳固的基础。至于这些数学家为何要花这幺大的精力呢?那是因为複数此时已经变得非常有用,以致于他们无法迴避複数的使用。

所以,为什幺我们要「相信」複数呢?因为它太有用了。 

参考文献:


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