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虚数的起源 (上)(The Origin of Imagin

高中课程对于虚数 $$i=\sqrt{-1}$$ 的介绍,常由方程式 $$x^2+1=0$$ 的根引入。然而,这样的方式总会让人感觉不对劲:国中时此一方程式可以视为没有实根,而将它忽略,到了高中却又刻意定义使用它。事实上,我们若回顾虚数的发展历史时,就会发现虚数的出现与二次方程式没有关连,而是三次方程式的缘故,使得数学家无法迴避根号内出现负数的情形。综览现有依照98课纲编写的课本,开始有作者会交代虚数出现的缘起,但限于篇幅,总是显得太过简略。本文的目的,就是把虚数这段的发展,做一个比较完整的说明。

这个故事得从义大利的卡丹诺 (Girolamo Cardano, 1501-1576) 谈起。卡丹诺是数学史上有名的怪人,通晓医学、数学与天文学,同时也喜爱赌博及占星术。1545 年,卡丹诺出版《大技术》(Ars Magna,意即「伟大的技艺」(the Great Art)), 包含了任意三次方程式的根式解法,以及解释这些解法为何行得通的几何论证。同时,也包含他的学生费拉里 (Lodovico Ferrari, 1522-1565) 在四次方程上的根式解法。不过,三次方程式的解法的公开,塔达里亚 (N. Fontana Tartaglia, 1500-1557) 认为卡丹诺违反两人的约定,不但大力抨击抗议,还向他提出数学挑战。塔达里亚为何反应如此激烈?这已经是另一段故事,有兴趣的读者,不妨参阅英家铭、苏意雯合写的〈数学与「礼物交换」〉一文。(收录于洪万生等着, 《当数学遇见文化》)

卡丹诺最大的贡献,是对于缺了二次项,形如 $$x^3+px+q=0$$ 的三次方程式,给出公式解。
如果用现代的数学符号表示,卡丹诺的公式就是

$$x=\displaystyle\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+{\frac{p^3}{27}}}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+{\frac{p^3}{27}}}}$$

。受限于当时对于方程式係数必须为正的要求,卡丹诺将这种缺项的三次方程式分成 $$x^3+cx=d$$,$$x^3+d=cx$$,$$x^3=cx+d$$($$c,d$$ 均为正整数)三种,分别给出公式及几何论证。至于有二次项的,形如 $$x^3+ax^2+bx+c=0$$ 的方程式,卡丹诺则利用 $$x=y-\frac{a}{3}$$ 能将平方项消去,就能使上述的公式。接下来,我们以方程式 $$x^3=cx+d$$ 为例,说明卡丹诺的工作。

对于形如方程式$$x^3=cx+d$$,卡丹诺给的公式解为

$$x=\displaystyle\sqrt[3]{\frac{d}{2}+\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}}+\sqrt[3]{\frac{d}{2}+\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}}$$

。他是如何得到的?不妨由图一看起,他将三次方视为一立方体,透过体积关係,可知和的立方公式是成立的:$$(u+v)^3=u^3+v^3+3u^2v+3uv^2=3uv(u+v)+(u^3+v^3)$$。再与方程式 $$x^3=cx+d$$ 相比,可知,如果联立方程组 $$\begin{cases}u^3+v^3=d&\cdots(1)\\3uv=c&\cdots(2)\end{cases}$$ 的 $$(u,v)$$ 有解,则 $$x=u+v$$ 即为 $$x^3=cx+d$$ 的其中一个解。

虚数的起源 (上)(The Origin of Imagin

 解法如下:

由(2)式 $$\Rightarrow uv=\displaystyle\frac{c}{3} \Rightarrow u^3v^3=(\frac{c}{3})^3\Rightarrow\begin{cases}\displaystyle u^3+v^3=d\\\displaystyle u^3v^3=(\frac{c}{3})^3\end{cases}$$

令 $$s=u^3$$,$$t=v^3$$ 可得 $$\begin{cases}\displaystyle s+t=d&\cdots(3)\\\displaystyle st=(\frac{c}{3})^3&\cdots(4)\end{cases}$$

由 (3),$$s=d-t$$ 代入 (4):$$\displaystyle (d-t)t=(\frac{c}{3})^3$$

$$\begin{array}{ll}\Rightarrow&\displaystyle t^2-dt+(\frac{c}{3})^3=0\\\Rightarrow&\displaystyle t=\frac{d\pm\sqrt{d^2-4\times 1\times(\frac{c}{3})^3}}{2}=\frac{d}{2}\pm\sqrt{\frac{d^2-4(\frac{c}{3})^3}{4}}=\frac{d}{2}\pm\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}\end{array}$$

情形一:$$\displaystyle t=\frac{d}{2}+\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}$$ 代入 (3),

$$\displaystyle s=d-t=d-(\frac{d}{2}+\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3})=\frac{d}{2}-\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}$$

情形二:$$\displaystyle t=\frac{d}{2}-\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}$$ 代入 (3),

$$\displaystyle s=d-t=d-(\frac{d}{2}-\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3})=\frac{d}{2}+\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}$$

因此,$$(u^3,v^3)=(s,t)=\displaystyle\left(\frac{d}{2}-\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3},\frac{d}{2}+\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}\right)$$

或 $$\displaystyle\left(\frac{d}{2}+\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3},\frac{d}{2}-\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}\right)$$

$$\Rightarrow (u,v)=\displaystyle\left(\sqrt[3]{\frac{d}{2}-\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}},\sqrt[3]{\frac{d}{2}+\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}}\right)$$

或 $$\displaystyle\left(\sqrt[3]{\frac{d}{2}+\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}},\sqrt[3]{\frac{d}{2}-\sqrt{(\frac{d}{2})^2-(\frac{c}{3})^3}}\right)$$

利用卡丹诺的公式,我们可以解决许多三次方程式的问题。然而,却也引发了其他的问题。比如说,对于方程式 $$x^3=15x+4$$ 的解,我们使用公式解会得到 $$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$。就当时数学家的观点,平方根号内出现负数是不合理的事,通常是忽略它。如此一来,这个三次方程就不可解。可是,另一方面,我们可轻易地检验出 $$x=4$$ 是这估三次方程式的一个解。为何利用卡丹诺公式所求得的结果中,没有看到 $$x=4$$ 出现?如此一来,利用公式所得到的解 $$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 和 $$4$$ 有没有关係呢?这些问题,必须等到另一位义大利的数学家邦贝利(Rafael Bombelli,1526-1573)的出现才获得解决。欲知详情,请下集分晓啰。


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